CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A) Các kiến thức cơ bản cần nhớ
1) Tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu của y’.
2) Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.
3) GTLN, GTNN của hàm số trên một tập số.
4) Các phép biến đổi đơn giản của đồ thị hàm số (Phép tịnh tiến song song với trục tọa độ, phép đối xứng qua trục tọa độ )
5) Xác định đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (nếu có)
6) Quá trình khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số.
7) Dùng đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của 1 phương trình.
8) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó đi qua một điểm cho trước.
9) Sự tương giao của đồ thị hàm số.
B) Các ví dụ luyện tập
Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y = 2x3 + 3x2 +1 b) y = x3 - x2 + 2x
c) y = x4 + 2x2 d) y = x4 – 2x2 – 3
e) y =
f) y =

g) y =


Bài 2:
a ) Cho hàm số
(m tham số)
Tìm m để hàm số đồng biến trên
.
Giải: y’= x2 + 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên










b) Cho hàm số:
(m tham số)
Tìm m để hàm số nghịch biến trên

Giải: TXĐ: D =
{m}
Hàm số nghịch biến trên




Ta có:









Bài 3: Cho
(C)
a) Xác định tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C).
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m2 – m đi qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 4: Cho hàm số

Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1
Giải: TXĐ: D =
.




Hàm số đạt cực đại tại x =1






m = 2
Kết luận: m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Bài 5: Cho hàm số:
. Xác định m sao cho:
a) Hàm số có cực trị
b) Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu.

Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số








Giải:



Bài 7:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x (C);
Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị (C’): y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x|.
Đáp án:
Học sinh tự giải;
Nhận xét hàm số chẵn. Do đó, (C’) được suy ra từ (C) bằng cách:
Phần đồ thị (C) ở bên trái trục tung (x ≥ 0);
Lấy đỗi xứng đồ thị (C) với x ≥ 0 qua trục Oy;
Kết luận: Hợp của 2 phần đồ thị nới trên là đồ thị (C’).

Bài 8:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y= x3 – 3x2 (C)
Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = |x3 – 3x2|

Bài 9: Cho hàm số:
. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Giải:
TXĐ:

Chiều biến thiên

Hàm số nghịch biến trên
;
Giới hạn:




Bảng biến thiên


Đồ thị cắt trục tung tại (0; -3) và cắt trục hoành tại
;
Đồ thị nhận điểm I (1; -2) (Giao điểm của 2 tiệm cận) làm tâm đối xứng;
Đồ thị: HS tự vẽ.

Bài 10: Cho hàm số: y= 2x3 – 6x + 1 (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số;
Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phân biệt của phương trình
2x3 – 6x + 1 – m = 0 (*)
Giải:
Học sinh tự